ARİTMETİĞİN TEMEL TEOREMİNİN İSPATI

Aritmetiğin temel teoreminin ispatı, Aritmetiğin temel teoremi nedir? Birden büyük her doğal sayı, sonlu sayıda birtakım asal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Aritmetiğin temel teoreminin ispatı;

ARİTMETİĞİN TEMEL TEOREMİNİN İSPATI

Aritmetiğin Temel Teoremi:

Birden büyük her doğal sayı, sonlu sayıda birtakım asal sayının çarpımı olarak yazılabilir. 
Bu teoremi olmayana ergi yöntemi ile ispatlamaktayız. Olmayana ergi yöntemi bir önermenin doğru olduğunu ispatlamak zor olduğu durumlarda o önerme yanlış kabul edilip bir çelişki aramaktır. Bu çelişki bulunduğunda önerme doğru kabul edilir.


Bu teoremde bize anlatılmak istenen kullandığımız birden büyük her doğal sayı asal çarpanlarına ayrılabilir;

12 = 22 . 3


20 = 22 . 5


25 = 52 . 1


19 = 19 . 1

A = { x ∈ z : x > 1 x asal değildir, sonlu sayıda asalın çarpımı olarak yazılamaz.}


Yukarıdaki A kümesinin bu teoreme göre boş olması gerekmektedir. Olmayana ergi yöntemiyle ispatlamamız için bu kümeyi boş kümeden farklı bir küme olarak kabul edelim. 

A kümesinin en küçük elemanına n diyelim. n, A kümesinin elemanı olduğu için asal olamaz. n sayısı asal değilse iki sayının çarpımıdır. n = x . y diyebiliriz. A kümesinin en küçük elemanına n demiştik ancak n = x . y denkleminde x ve y sayıları n‘den küçüktür. Yani 1 < x < n , 1 < y < n olur. O zaman x,y ∉ A yani x ve y sayıları A kümesinin elemanı değildir.


A kümesinin iki şartı vardı: 

1) Asal değildir. 

2) Sonlu sayıda asalın çarpımı olarak yazılamaz. 

Bu durumda x ve y sayıları ya asal sayılardır ya da sonlu sayıda asalın çarpımı olarak yazılır. n = x . y idi. 

x ve y sayıları asal sayı ise n sayısı sonlu sayıda asal sayının çarpımı oluyor. 

x ve y sayıları sonlu sayıda asal sayının çarpımı ise n sayısı da sonlu sayıda asal sayının çarpımı oluyor. 

ÇELİŞKİ - Aritmetiğin Temel Teoreminin İspatı


Bu durum bize A kümesinin boş küme olduğunu gösteriyor. ( A = Ø ) Bizim ispatlamamız gereken şey de A kümesinin boş olduğunu göstermekti. Bunu da olmayana ergi yöntemi ile ispatlamış olduk. 
Yorumlarınız bizim için çok değerli. Lütfen yorum yapmayı unutmayın. Daha fazla içerik için Anasayfa'ya gidebilir yada İletişim bölümünden benim ile iletişime geçebilirsiniz.

Yorum Gönder

Düşünceleriniz bizim için çok değerli!

Sonraki Önceki Ana Sayfa