TÜREVLENEBİLİYORSA SÜREKLİDİR İSPAT

F(x) FONKSİYONU BİR a NOKTASINDA TÜREVLENEBİLİYORSA O NOKTADA SÜREKLİDİR.

"Bir fonksiyon x = a noktasında türevlenebiliyorsa süreklidir." teoreminin ispatını yapacağız. Türevlenebiliyorsa süreklidir.

İspat:

Bir fonksiyonun sürekli olması için 3 şart vardı;

1) Fonksiyon o noktada tanımlı olmalıdır.

2) Fonksiyonun o noktadaki sağdan ve soldan limit değeri birbirine eşit olmalıdır.

3) Fonksiyonun o noktadaki fonksiyon değeri ile limit değeri birbirine eşit olmalıdır.

F(x) fonksiyonu x = a noktasında türevlenebildiğine göre o noktada tanımlıdır ve yığılma noktası a'dır.

(Yani o noktadaki sağdan ve soldan limiti birbirine eşittir.) Bu durumda F(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki fonksiyon değeri ile limit değerinin birbirine eşit olduğunu göstermemiz yeterli olacaktır.
TEOREM: F(x) FONKSİYONU BİR a NOKTASINDA TÜREVLENEBİLİYORSA O NOKTADA SÜREKLİDİR.

Yazabiliriz. (Türevin tanımından.)

Ayrıca;

TEOREM: F(x) FONKSİYONU BİR a NOKTASINDA TÜREVLENEBİLİYORSA O NOKTADA SÜREKLİDİR.


Eşitliğini yazabiliriz. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında eşitlik sağlanıyor. 

Şimdi eşitliğin sol tarafında bulunan limiti parçalayalım; 


türevlenebiliyorsa süreklidir

türevi varsa limiti de vardır.

türevi varsa süreklidir


Sağ taraftaki eşitliği toplama işaretinin olduğu yerden ayırırsak;
türevi varsa süreklidir ispatı

Bu durumda yeni eşitliğimiz;
türevi varsa süreklidir ispat

türevi varsa süreklidir ispatı

y = F(x) fonksiyonunun x = a noktasında fonksiyon değeri limit değerine eşit olduğundan süreklidir.

Yorumlarınız bizim için çok değerli. Lütfen yorum yapmayı unutmayın. Daha fazla içerik için Anasayfa'ya gidebilir yada İletişim bölümünden benim ile iletişime geçebilirsiniz.

Yorum Gönder

Düşünceleriniz bizim için çok değerli!

Sonraki Önceki Ana Sayfa