TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI

TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI


 Terimler toplamı formülü ispatı gauss - terimler toplamı formülü ispatı gauss


Bu yazımızda daha önce MATEMATİKTE KULLANILAN İSPAT YÖNTEMLERİ başlıklı yazımızda tümevarım yöntemiyle ispatladığımız terimler toplamı formülünün iki farklı ispatını daha yapacağız. Ama önce bu teoremin bulunuş hikayesine bir göz atalım.

Gauss 'un ilkokul öğretmeni sınıftan çıkmak istemiş. Çocuklara boş durmasınlar oyalansınlar diye işlem kalabalığı olan " zor " bir soru sormuş.

"1 'den 100 'e kadar olan sayıların toplamı kaçtır?" Bu soruyu sorduktan sonra daha sınıftan çıkamadan kapının eşiğinde Gauss oturduğu yerden 5050 diye bağırmış. Gauss 'un ilkokul öğretmeni donakalmış. Hesap yeteneği ne kadar iyi de olsa bu kadar hızlı bir şekilde nasıl hesapladı? İşte küçük Gauss 'un o formülü:

TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI

Şimdi de bu teoremi cebirsel ve geometrik olacak şekilde 2 farklı yöntemle daha ispatlayalım.

TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI - 1.yol

1 'den n 'e kadar olan sayıları toplayalım ve bu toplamın sonucuna a diyelim. Aynı şekilde tam altına n 'den 1 'e kadar olan sayıları toplayalım ve bu toplama a diyelim.


1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n = a

n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 = a


şimdi bu iki eşitliği birbiri ile toplayalım.

TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI

Elimize n tane (n+1) geçti. n . (n+1) çarpımı ise 2a 'ya eşit oldu.

n . (n+1) = 2.a

2 'yi karşı tarafa attığımızda:

TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI

Şimdi ise 2. yola bakalım.

TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI - 2.yol

Her sayıyı kare olarak gösterelim. Örneğin:


TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI


1 + 2 + 3 + ... + n sayısını bu dikdörtgenleri üst üste koyarak gösterelim. Örneğin n = 5 ise aşağıdaki gibi bir üçgen elde ederiz.
TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI


Bulmak istediğimiz sayı yukarıdaki üçgendeki kare sayısıdır. Bu üçgendeki kare sayısını bulmak kolay olmayacaktır. Bu üçgenden iki tane alalım ve ikinci üçgeni ters çevirelim. Bir dikdörtgen oluşturmaya çalışalım.
TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI


Bulmak istediğimiz sayı yukarıdaki dikdörtgen deki kare sayısının yarısıdır. n 'yi 5 seçmiştik. Yani dikdörtgen deki kare sayısı

TERİMLER TOPLAMI FORMÜLÜNÜN İSPATI
Yorumlarınız bizim için çok değerli. Lütfen yorum yapmayı unutmayın. Daha fazla içerik için Anasayfa'ya gidebilir yada İletişim bölümünden benim ile iletişime geçebilirsiniz.

Yorum Gönder

Düşünceleriniz bizim için çok değerli!

Sonraki Önceki Ana Sayfa