BERTRAND RUSSELL PARADOKSU - EVRENSEL BİR KÜME NEDEN OLAMAZ?

Russell paradoksunu anlamamız için öncelikle paradoksun ne olduğuna bakalım. Paradoks olmaması gereken bir şeydir, çelişki oluşturur. Örnek vermek gerekirse çelişki olduğunda 1 = 2 gibi bir şey ortaya çıkıyor. Bilinen birçok paradoks vardır. Tarih boyunca matematikçiler ve felsefeciler matematikte bir çelişki aramışlardır. Evrensel küme neden yoktur Bertrand Russel paradoksu - evrensel küme neden yoktur Bertrand Russel paradoksu 
BERTRAND RUSSEL PARADOKSU

Matematikte çelişki var mıdır? Bu soru matematikçileri uzun yıllar zorlamıştır. 1930 yılı dolaylarında Kurt Gödel matematikte çelişkinin olmadığının kanıtlanmasının olanaksız olduğunu kanıtlamıştır. Gödel 'in bu teoreminden matematiğin çelişkili olduğu sonucu çıkmaz. Gödel sadece matematiğin çelişkisiz olduğunu kanıtlayamayacağımızı kanıtlamıştır. Russell paradoksu da matematikte ortaya çıkan bir çelişkidir. Bu çelişki sonradan giderilse de matematik dünyasını büyük oranda sarsmıştır.

Bu paradoksu ünlü matematikçi ve filozof Russell 1901 'de henüz 28 yaşındayken bulmuştur. O zamanlar matematikte küme kavramı çelişkiden yoksun olarak biliniyordu ve A dan Z ye her şey bir küme olarak kabul ediliyordu. Modern matematiğin kurucularından sayılan Alman matematikçi ve mantıkçı Frege, Aritmetiğin Temelleri adlı ünlü yapıtının birinci cildini yayımladı.

Bertrand Russel Paradoksu

Bu kitabın amacı Aritmetiği sağlam temellere dayanan bir kümeler kuramına indirgemek istemektir. Bu yapıtın ikinci cildi çok gecikir. Matematikçilerin alışık olmadığı bir dilde ve karmaşık olduğundan büyük ilgi görür. Kitabın 2. cildi de yayımlanır. Tam bu sırada 54 yaşındaki Frege'ye 30 yaşındaki Russell 'den bir mektup gelir. Mektubunda Frege 'yi överek göklere çıkaran Russell mektubun ortalarında bulduğu paradoksu açıklar. Bunun üstüne Frege'nin dünyası başına yıkılır. O kadar emek verip sağlam temellerle kurduğunu sandığı matematik çökmüştür. Artık baskıdan çekip bazı değişiklikler yapıp paradoksu gideremeyeceği kadar basılmıştır kitap ki öyle bir imkanı olsa da bu paradoksu nasıl gidereceğini bilmemektedir.

Artık Frege'nin yapabileceği tek şey kitabına bir son söz yazmak.


Frege'nin kitabına yazdığı son söz şöyle başlar:

Bir bilim insanı için, yapıtı biter bitmez temellerinin yıkılmasından daha korkunç bir şey düşünülemez. Yapıt tam baskıya hazırlanırken Bay Bertrand Russel 'den aldığım bir mektup beni bu duruma soktu. Devamında ise paradoksu açıklar.

Russell paradoksunu çıkmasının nedenlerinden birisi de her şeyin küme olarak kabul edilmesidir. Bu paradokstan sonra daha derinlemesine düşünülerek matematik inşa edilmiştir. Artık her şeye bir küme denilememektedir.


Bertrand Russell Paradoksu

bertrand russel

Tüm kümelerin kümesi olan bir A kümesini ele alalım. Bu A kümesi de bir küme olduğundan kendisinin bir elemanıdır. Bazı kümeler A kümesi gibi kendisinin elemanıdır. Bazı kümeler ise değildir. Örneğin doğal sayılar kümesi bir doğal sayı olmadığından kendisinin bir elemanı değildir.

Şimdi kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerin kümesini alalım ve bu kümeye Y kümesi diyelim.

Y = {x: x ∉ x}

olsun. Tanımladığımıza göre bir x kümesinin y kümesinin elemanı olması için kendi kendisinin elemanı olmaması gerekiyor. Daha matematiksel olarak, her x kümesi için;

x ∈ Y <=> x ∉ x

önermesi geçerlidir. Bu önerme her x için geçerli olduğundan özel olarak kendi kendisinin elemanı olmayan Y kümesi için de geçerlidir. Bu sebeple yukarıda x gördüğümüz yere Y yazarsak;

Y ∈ Y <=> Y ∉ Y

Şimdi yazdığımız bu son önermenin ne dediğine bakalım. Y, Y 'nin bir elemanı ise Y, Y 'nin bir elemanı olamaz ve Y, Y 'nin bir elemanı değilse, Y, Y 'nin bir elemanı olur. Bu bariz bir çelişkidir.

Bu sorunu çözmemizin tek yolu Y kümesini küme olmaktan men etmektir. Ancak bu sorunu ortadan kaldırsak bile bir paradoks yine çıkacaktır. Asıl kümelikten men etmemiz gereken küme A kümesidir. Yani tüm kümelerin kümesini almıştık. Kendi kendisinin elemanı olmayan kümeler de bu tüm kümelerin kümesinin elemanıdır. Dolayısı ile evrensel bir sayı kümesinden bahsedemeyiz. Yani Russel paradoksu ile her x kümesi için x 'in elemanı olmayan bir z elemanı bulabiliriz.

Bertrand Russel Paradoksu

Matematikçilerin amacı tamamen yeni bir şey bulunmasına çalışmak değildir. Bunu yapamasalar bile o şeyin bulunmasına katkıda bulunmak da mükemmel bir duygudur. Bu paradoksun giderilmesi için kümeler kuramı yeniden kurulmuştur. Russell akla gelen her şeyin küme olmasını yasaklayarak matematiği değiştirmiştir. Çelişkisiz bir matematik yaratmıştır. Russell 'in tipler kuramı ortaya çıkmış. Matematikçilere bu kuram çok zor gelmiştir. Mesela iki kümenin eşit olduğunu kanıtlamak için bile çok uzun uğraşlar sarf etmek gerekiyordu. Matematikçiler de zor olan hiçbir şeyi sevmediklerinden, tipler kuramını daha basit bir kuram ile değiştirmişlerdir.

Matematikte bir gün bir çelişki bulunsa bile bu çelişki temelde kabul ettiğimiz aksiyomlar birazcık değiştirilerek giderilebilir. Matematiği derinden sarsamaz sadece birazcık titretebilir.

Yorumlarınız bizim için çok değerli. Lütfen yorum yapmayı unutmayın. Daha fazla içerik için Anasayfa'ya gidebilir yada İletişim bölümünden benim ile iletişime geçebilirsiniz.

Yorum Gönder

Düşünceleriniz bizim için çok değerli!

Sonraki Önceki Ana Sayfa