İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERDE KÖKLERİ İSPAT

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERDE KÖKLERİ İSPAT


İkinci dereceden denklemlerde kök bulma -ikinci dereceden denklemlerde kök bulma 

Bu yazımızda günlük hayatta kullandığımız ikinci dereceden denklemlerin kökleri, delta, kökler çarpımı formülü, kökler toplamı formülü gibi formüllerin nereden geldiğini ele alacağız.

2. Dereceden denklemlerin genel gösterimi olarak kullandığımız

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERDE KÖKLERİ İSPAT

ax2 + b.x + c = 0 ifadesinin öncelikle köklerini bulalım.

Öncelikle her iki tarafı da a 'ya bölelim: ( bu durumda a'nın sıfırdan farklı bir sayı olması gerekir. )


İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERDE KÖKLERİ İSPAT

Peki matematikte kafamıza göre her iki tarafı da bir şey ile çarpabiliyor muyuz? Örneğin ( x-1 ) = 0 ifadesinde her iki tarafı da ( x-2 ) ile çarparsak ( x-1 ) . ( x-2 ) = 0 eşitliğini buluyoruz. En baştaki denklemde x sadece 1 'e eşit idi ancak şimdi x hem 1 'de hemde 2 'ye eşit oldu.

Bu sorunun cevabı x hem 1 hemde 2 'ye eşit değildir. x değeri 1 yada 2 'ye eşittir. Yani ya 1 yada 2 sayısına eşit. Burada bir yanlışlık doğmuyor.

Elimizdeki denkleme dönecek olursak şimdi yapmamız gereken şey bir tam kare ifade oluşturmaya çalışmak olacaktır. Matematikte genelde ispatlarda elimizde böyle bir terim varsa o iki terime eklendiğinde tam kare yapacak bir ifade bulunur. Daha sonra o ifade denkleme eklenir ve çıkartılır. Matematikteki küçük oyunlardan biridir. Bizde ilk iki ifadeyi tam kare yapmak için denkleme b/2a 'nın karesini ekleyip çıkaralım.


İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERDE KÖKLERİ İSPAT

İlk 3 terim görüldüğü üzere x + b/2a 'nın parantez karesine eşittir. Yeni denklemimiz:

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERDE KÖKLERİ İSPAT

şimdi ise sağ taraftaki denklemde payda eşitlersek:


İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERDE KÖKLERİ İSPAT



Yukarıda eşitliğin sağ tarafına baktığımızda payda 0 dan büyük bir sayı. Denklemin sol tarafında bir tam kare sayı olduğundan denklemin sağ tarafı da 0 veya 0 dan büyük olmak zorundadır. Paydamız pozitif olduğuna göre payın da pozitif olması gerekir. Yani b2 – 4.a.c 'nin ( yani delta yada diskriminant 'ın ) 0 dan küçük bir değere eşit olmaması gerekir. Diskriminantımızın 0 dan küçük olduğu değerlerde denklemin kökü yoktur. Demek ki diskriminant 0 dan büyük veya eşit olmak zorunda. Soldaki ifade bir tam kare ifade olduğundan + veya - şeklinde çıkabilir.

Şimdi her iki tarafın da karekökünü alalım:

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERDE KÖKLERİ İSPAT

Şimdi b/2a ifadesini karşıya atalım:

diskriminant

Şimdi de diskriminantımızı yerleştirelim ve denklemimize son halini verelim:


diskriminant


Günlük hayatta sıklıkla kullandığımız ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini bulduğumuz formülü elde ettik. Bu formülde ortasında - ve ortasına + olan şekliyle formülümüz birbiriyle çarpılırsa veya toplanırsa kökler çarpımı veya kökler toplamı formülü elde edilebilir.
Yorumlarınız bizim için çok değerli. Lütfen yorum yapmayı unutmayın. Daha fazla içerik için Anasayfa'ya gidebilir yada İletişim bölümünden benim ile iletişime geçebilirsiniz.

Yorum Gönder

Düşünceleriniz bizim için çok değerli!

Sonraki Önceki Ana Sayfa