KÖK ÜÇ NEDEN RASYONEL DEĞİLDİR İSPATI

 “Kök üç neden rasyonel değildir?” sorusunun cevabı “Kök iki neden rasyonel değildir?” sorusunun cevabı ile neredeyse tamamen aynıdır. Daha önceki bir yazımızda “Kök iki neden rasyonel değildir?” sorusunun cevabını vermiştik. Bu yazımızda da benzer bir yol izleyerek ispatlayacağız. Kök üç neden rasyonel değildir? ispatı

KÖK ÜÇ NEDEN RASYONEL DEĞİLDİR İSPATI


KÖK ÜÇÜN RASYONEL OLMADIĞININ İSPATI

Kök üçün rasyonel olmadığını göstermek için öncelikle kök üçü rasyonel bir sayı olarak kabul edelim ve çelişki yolu ile ispatlayalım.

Eğer kök üç rasyonel bir sayı ise kesir şeklinde yazabiliriz.

KÖK ÜÇ NEDEN RASYONEL DEĞİLDİR İSPATI

Kök üç rasyonel ise yukarıdaki gibi yazılabilir. (b0, a ve b aralarında asaldır.)

Yukarıdaki eşitlikte her iki tarafın da karesini alalım.

KÖK ÜÇ NEDEN RASYONEL DEĞİLDİR İSPATI

Elde ettiğimiz eşitlikte içler dışlar çarpımı yapalım.

 =>3.b2 = a2 olur.

Yukarıdaki eşitlikten de anladığımız gibi a ifadesi üçün katı bir sayıdır. Şimdi a ifadesini 3k gibi üçün katı bir sayıya eşitleyelim.

=> a = 3k

=> a2 = 9k2

İlk bulduğumuz eşitlikte a2 ifadesini yerine yazarsak

=>3.b2 = 9.k2

=>b2 = 3.k2 olur.

Son durumda a ve b sayılarının karelerinin değerleri a2 = 9k2 ve b2 = 3.k2 çıktı. Bu durumda a ve b değerleri üçün katı olmak zorundadır. Kök üçü rasyonel bir sayı kabul ettiğimizde a ve b değerlerinin aralarında asal olması gerektiğini söylemiştik. Elde ettiğimiz sonuçta ise a ve b değerleri üçün katı çıktı. Bu durum bir çelişki doğuruyor. Bu sebeple kök üç rasyonel bir sayı değildir. Kök ikinin neden rasyonel olmadığını ispatladığımız yazımıza buradan ulaşabilirsiniz. Kök iki ve kök üçün rasyonel olmadığını çelişki yoluyla ispatladık. Bu ispatlardan yararlanılarak rasyonel olmayan köklü sayıların neden rasyonel olmadığı ispatlanabilir.

Yorumlarınız bizim için çok değerli. Lütfen yorum yapmayı unutmayın. Daha fazla içerik için Anasayfa'ya gidebilir yada İletişim bölümünden benim ile iletişime geçebilirsiniz.

Yorum Gönder

Düşünceleriniz bizim için çok değerli!

Sonraki Önceki Ana Sayfa