TÜREV NEDİR? İspatı

TÜREV NEDİR? İspatı

 

türev nedir ispatı- türev nedir ispatı

Daha önce bir doğrunun eğimini hesaplamıştık. Ve o konuda parabol gibi doğru olmayan bir fonksiyonun eğiminin türev yardımıyla bulunacağını söylemiştir. Aslında parabol tarzı yani doğru olmayan bir fonksiyonda genel bir eğim bulamayacağımızdan herhangi bir noktasındaki eğimi bulmamız gerekiyor ve bu noktadaki eğim de o noktaya bir teğet çizilerek bulunuyor. Peki türev ne işe yarıyor?

Böyle doğru olmayan fonksiyonlardan her zaman grafik çizip ne olup ne bitiğini göremiyoruz. Türev bize grafik olmadan cebirsel olarak o noktadaki eğimi bulmaya olanak sağlıyor. Peki bu cebirsel ifadeyi nasıl kuruyoruz?

İlk olarak doğrusal olmayan herhangi bir eğri alalım.

TÜREV NEDİR? İspatı

Bizden A noktasındaki eğim isteniyor ve cebirsel bir ifade kurmamız gerekiyor.

TÜREV NEDİR? İspatı

İlk önce A ile B noktaları arasındaki kirişin eğimini bulalım. Eğim dikeydeki değişim miktarının yataydaki değişim miktarına oranı idi. Hesapladığımızda;

TÜREV NEDİR? İspatı



Bize A noktasındaki eğim gerekiyordu. Yani B noktasını A noktasına yaklaştırabildiğimiz kadar yaklaştırmamız gerekiyor. Burada işin içine limit giriyor.



B noktasını A noktasına öyle bir yaklaştıralım ki AB kirişi A noktasındaki teğet olsun. Yani x değişkenini x0 'a olabildiğince yaklaştıralım. Bu durumda A noktasındaki teğetin eğimi;


ispat



Az önce denklemini beraber kurduğumuz A noktasının eğimi, denklemini hepimizin bildiği gibi F'( x0 ) Yani türevin formülü olarak gösteriyoruz.

O halde türev bir fonksiyonun üzerindeki herhangi bir noktanın eğiminin tanımıdır.

Peki yazının başında kullandığımız herhangi bir kavramı ne kadar doğru? Hangi noktalarda türev yoktur?
  1. Bir noktaya teğet çizmemiz için öncelikle o noktanın tanım kümesinde yer alması gerekiyor. Olmayan bir noktaya teğet çizemeyiz.



TÜREV NEDİR? İspatı


Yukarıdaki şekilde a noktasına nasıl teğet çizebiliriz? demek ki fonksiyonun a noktasında tanımlı olması yetmiyor. Aynı zamanda sürekli de olması gerekiyor.

3.


TÜREV NEDİR? İspatı

Yukarıdaki grafikte a noktasına sağdan ve soldan olmak üzere iki farklı teğet çizebiliyoruz. Bir noktanın sadece bir adet teğeti olabiliyordu.Yani fonksiyonumuzun a noktasındaki türevini (eğimini) bulabilmemiz için Fonksiyonun o noktada keskin bir şekilde dönmemesi-değişmemesi gerekiyor. Eğrimiz o noktada yumuşak olmalı.

4. Eğime tan a demiştik. Son olarak tan a değerinin tanımsız, belirsiz olduğu yerleri tanım kümemizden çıkarmamız gerekiyor.


TÜREV NEDİR? İspatı
Yani bir eğrideki eğimini bulacağımız bir x0 noktasının teğeti x eksenine dik olmamalıdır.


TÜREV NEDİR? İspatı


Şimdi ise tanımladığımız türevi kullanarak sabit bir fonksiyonun türevinin neden 0 olduğunu görelim.

TÜREV NEDİR? İspatı


Fonksiyonumuz sabit olduğundan F(x) her zaman c 'ye eşit olacak yani F(x), F(8) , F(5) hepsi c 'ye eşit olduğundan C - C 'den limitimizin üst tarafı 0 'a eşit olacak alt tarafı incelemek içinse sağdan soldan türeve bakalım;



TÜREV NEDİR? İspatı


olduğundan sabit bir fonksiyonun tanımlı olduğu her noktada eğiminin 0 olduğunu söyleyebiliriz.

Peki her seferinde bu formülü uzun uzun kullanmamız mı gerekiyor?

Bulduğumuz türevin tanımından herhangi bir fonksiyonun x noktasındaki türevini bulursak kısa bir türev alma kuralı oluşturabiliriz. Ancak bizim tanımladığımız türevde x0 gibi bir nokta yerine direk x noktası alınırsa 0/0 belirsizliği oluşuyor ve giderilemiyor bu sebeple paydayı 0 yapmayacak bir tüev tanımı oluşturmamız gerekiyor.


TÜREV NEDİR? İspatı

Paydayı 0 yapan x - x0 değerine h dersek x yazdığımızda belirsizlikten bir nebze kurtulmuş oluyoruz.

 x - x0 = h eşitliğinde x değişkenini x0 'a doğru yaklaştırırsak h değeri 0 a yaklaşacağından yeni tanımımız;


TÜREV NEDİR? İspatı

TÜREV NEDİR? İspatı

F(x) fonksiyonunun türevine göre yazarsak;


TÜREV NEDİR? İspatı

tanımımızı biraz daha daraltmamız gerekiyor. Hepimiz F(x) = x2 gibi bir fonksiyonun türevinin 2x olduğunu biliyoruz.bir fonksiyonun türevini bukadar kısa şekilde bulmamızı sağlayacak tanıma ulaşmak için yukardaki tanımı F(x) = xn gibi derecesi bilinmeyen bir fonksiyonda uygularsak elimize daha kısa bir tanım geçecektir. ( n ∈ N )

F: R => R , F(x) = xn ( n ∈ N )


TÜREV NEDİR? İspatı

olduğunu biliyoruz. Formülde a gördüğümüz yere x + h, b gördüğümüz yere x yazalım.


türev ispat

h yerine 0 yazdığımızda;

türev ispat
Şimdi elimizde kalan denklemi düzenlersek;

türev ispat

Şimdi tek yapmamız gereken kaç tane xn-1 olduğunu bulmak. Yukarıdaki;


türev ispat

Eşitliğinden bunu bulabiliriz. 1. toplama kadar 0, 2. 'ye kadar 1 x şeklinde gidiyor. Yani xn-1 'e ancak n. terimde ulaşabiliriz.

Yani herhangi bir n. dereceden x değişkeninin türevi n. xn-1 bulunuyor.

Yorumlarınız bizim için çok değerli. Lütfen yorum yapmayı unutmayın. Daha fazla içerik için Anasayfa'ya gidebilir yada İletişim bölümünden benim ile iletişime geçebilirsiniz.

2 yorum:

  1. Teşekkür ederim. Şimdi türevin mantığını daha iyi anladım.

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. Ben teşekkür ederim zaman ayırıp okuduğunuz için.

      Sil

Düşünceleriniz bizim için çok değerli!

Sonraki Önceki Ana Sayfa